绵阳一诊

(难度评定值:0.52[难度系数在0.4-0.7的试题为中等试题,低于0.4的为难题,高于0.7的为容易题。])

3道大题, 总分:154

班级________ 姓名________ 学号________ 得分________

一.选择题 【共12道题,共60分】
1.[5分]已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是(  )

A.pq

B.

C.

D.
2.[5分]若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是(  )

A.a+<log2(a+b)

B.<log2(a+b)<a+

C.a+<log2(a+b)<

D.log2(a+b)<a+
3.[5分]根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(  )

(参考数据:lg 3≈0.48)

A.1033

B.1053

C.1073

D.1093
4.[5分]若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则AB=(  )

                

A.{x|-2<x<-1}

B.{x|-2<x<3}

C.{x|-1<x<1}

D.{x|1<x<3}
5.[5分]函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的最大值为(  )

A.

B.1

C.

D.
6.[5分]已知sin α-cos α=,则sin 2α=(  )

A.-

B.-

C.

D.
7.[5分]

函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期为(  )

A.4π             B.2π             C.π               D.

8.[5分]若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是(  )

A.f(x)=2-x

B.f(x)=x2

C.f(x)=3-x

D.f(x)=cos x
9.[5分]将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数

A.在区间 上单调递增

B.在区间 上单调递减

C.在区间 上单调递增

D.在区间 上单调递减
10.[5分]已知,则的大小关系为

A.

B.

C.

D.
11.[5分]等差数列{an}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(  )

A.-24

B.-3

C.3

D.8
12.[5分]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(  )

A.1盏

B.3盏

C.5盏

D.9盏
二.填空题 【共4道题,共20分】
1.[5分]设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=其中集合D=,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是     
2.[5分]已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是     
3.[5分]已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.AB={1},则实数a的值为     
4.[5分]等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=     
三.解答题 【共6道题,共74分】
1.[13分]已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是自然对数的底数.

##1$$求曲线y=f(x)在点(π,f(π) )处的切线方程.

##2$$令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
2.[10分]在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).l1l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C

##1$$写出C的普通方程;

##2$$以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,Ml3C的交点,求M的极径.
3.[12分]已知函数f(x)=x-1-aln x.

##1$$若f(x)≥0,求a的值;

##2$$设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值.
4.[13分]设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xss个数中最大的数.

##1$$若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列;

##2$$证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当nm时,>M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.
5.[14分]已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R).

##1$$求f的值;

##2$$求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
6.[12分]已知函数f(x)=ax3-ax-xln x,且f(x)≥0.

##1$$求a;

##2$$证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.